Lever rule을 이용한 상 분율 계산 - 2원계 상태도 해석

2원계 상태도를 이용하여 평형 상태에서 존재하는 상의 상대적인 양을 계산할 수 있습니다. 단상 영역 (하나의 상만 존재하는 영역) 및 2상 영역에 대해 다르게 고려해야 합니다. 단상 영역의 경우 하나의 상만 존재하기 때문에 합금은 해당 상으로 완전히 구성됩니다. 예를 들어 1100°C에서의 60 wt% Ni - 40 wt% Cu 합금은 α상만 존재하므로 합금은 100%의 α로 구성됩니다.

 

Binary Co-Ni phase diagram [1]

 

합금의 조성과 온도의 상태가 2상 영역 내에 있는 경우, 조금 더 복잡해 집니다. Tie line (타이라인)과 합금의 조성을 이용하여 lever rule (지렛대 법칙)으로 계산이 가능합니다.

 

1. 2상 영역 내에서 해당 온도에 대해서 tie line을 그립니다.
2. 전체 합금의 조성은 tie line 상에 위치합니다.
3. 상의 분율은 다른 상 상 경계로부터 전체 합금 조성까지의 tie line 길이를 측정하여 전체 tie line 길이로 나누어 계산합니다.
4. 다른 상의 분율도 동일한 방식으로 결정합니다.
5. 상의 백분율이 필요한 경우, 각 상 분율에 100을 곱합니다. 조성 축이 중량 퍼센트로 표시 된 경우, lever rule을 사용하여 계산된 상 분율은 중량 분율로서, 특정 상의 중량을 합금의 총 중량으로 나눈 값입니다. 각 상의 질량은 각 상 분율과 총 합금 중량의 곱으로 계산됩니다.

 

1250°C에서 35 wt% Ni - 65 wt% Cu 합금의 α상과 액체상이 함께 존재하는 경우의 예를 보겠습니다. α 및 액체상의 분율을 계산하기 위해서는, α 및 L 상의 조성을 결정하기 위해 tie line을 그려야 합니다.전체 합금 조성이 tie line 상에 위치하고 C0로 표시되며, 각 상의 중량 분율을 WL과 Wa라 한다면, lever rule에 따라 WL은 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

WL = S / (R + S)

 

여기에서 R과 S는 tie line 상의 조성 간의 차이를 이용해서 계산이 가능합니다. R과 S의 계산에 의해 WL은 다음과 같이 표현할 수 있게 됩니다.

 

WL = (Cα - C0) / (Cα - CL)

 

실제 조성을 대입해 보면, C0는 35 wt.% Ni, Cα는 42.5 wt.% Ni, CL은 31.5 wt.% Ni이기 때문에 WL은 0.68이 나옵니다.

 

WL = (42.5-35) / (42.5 - 31.5) =0.68

 

동일한 방법으로 Wα를 계산하게 되면, 0.32가 됩니다. 두 상의 중량 분율을 합치게 되면 1이 되어야 합니다.

 

Lever rule 유도 방법

우선 각 상의 중량 비율의 합은 1이 되어야 하기 때문에 다음의 식이 성립됩니다.

Wα + WL = 1

 

두 상 중에 존재하는 구리 또는 니켈의 조성의 중량은 합금의 해당 조성의 중량과 같아야 하기 때문에,

Wα X Cα + WL X CL = C0

위와 같은 식이 성립하게 됩니다.

 

두 식을 이용하여 정리하면 Wα과 WL에 대해서 정리하면, 앞서 언급한 레버룰로 정리되는 것을 볼 수 있습니다.

WL = (Cα - C0) / (Cα - CL)

Wα = (C0 - CL) / (Cα - CL)

 

 

참고

[1] William D. Callister Jr., David G. Rethwisch, Materials Science and Engineering

[2] 고용체 합금 (solid-solution alloy)의 분류와 예

[3] 용해한도 (solubility limit) - 상태도 기초

[4] 전율 고용 상태도 - 2원계 상태도 기초